C++中线性代数计算Eigen库的使用教程详解

目录

• 前言
• 类型定义
• 新建矩阵
• 矩阵索引
• 数学运算
• 求解线性最小二乘方程组

前言

Eigen是一个基于线性代数的C++模板库，主要用于矩阵、向量、数值求解和相关算法。Eigen库有如下特点：

• 支持整数、浮点数、复数，使用模板编程，可以为特殊的数据结构提供矩阵操作；
• Open-CV自带Eigen的接口；
• 支持逐元素、分块和整体的矩阵操作。
• 支持使用Intel MKL加速部分功能。
• 支持多线程，对稀疏矩阵支持良好。
• 支持常用几何运算，包括旋转矩阵、矩阵变换等。

所以不论是做算法还是C++开发，使用好Eigen库会让你事半功倍。

由于本人是非专业的算法工程师，所以这里也只是做一些简单入门介绍和使用。

类型定义

Eigen库中的核心类就是Matrix，它表示矩阵，是一个模板类，定义如下：

template<typename _Scalar, int _Rows, int _Cols, int _Options, int _MaxRows, int _MaxCols> class Matrix { } 

其中前3个模板参数需要我们指定，后面3个参数使用默认即可。

第一个参数typename _Scalar，表示该参数是一个数据类型，而不是像_Rows和_Cols这样的变量。那么现在比如我想定义一个4x4的float矩阵，就可以如下定义：

Matrix<float,4,4> matrix44f; 

这样定义虽然简单明了，但是有点长，所以在Eigen库中提供了很多开源直接使用的模板类，比如：

• Matrix4f，表示4x4的float矩阵；
• Vector3f，表示列向量，长度3的float向量；
• RowVector2i，表示行向量，长度2的int向量；

所以对于一些常见矩阵可以使用内置的模板类。

除了定义已知大小的矩阵，Eigen库还可以定义动态矩阵。那什么是动态矩阵和静态矩阵呢？

静态矩阵就是编译时候就知道大小的矩阵，比如Matrix3d，在编译时我们就知道这是一个3x3的double类型矩阵。

与之对应的是动态矩阵，这种矩阵需要在运行后才知道大小，比如需要从vector<vector<double>>数据类型中构建矩阵，只有当代码运行时才可以知道构建的矩阵的行列个数。这时可以使用MatrixXd来表示任意大小的元素类型为double的矩阵变量，其中X就表示未知大小，即Dynamic动态的意思。

对于矩阵类型后面的后缀表示元素类型，Eigen库定义了4种元素类型：

• d：表示double类型；
• f：表示float类型；
• i：表示整数；
• c：表示复数；

比如Matrix2c，表示一个2x2元素类型为复数的矩阵。

新建矩阵

对于默认构造函数的矩阵，分配了大小和内存空间，但是没有初始化矩阵元素。而对于基本数据类型，默认初始化的话，其值是随机的，不能使用。比如下面代码：

 Eigen::Matrix2f m; std::cout << "m:" << std::endl << m << std::endl; Eigen::Vector4i n; std::cout << "n:" << std::endl << n << std::endl; ​ //运行结果： m: 5.88604e-039 0 9.18341e-041 2.8026e-045 n: - -2   

在Eigen中重载了std::cout的<<运算符，所以可以直接使用std::cout打印矩阵结果。所以定义完矩阵后，我们必须要对进行初始化。对于矩阵的初始化，有如下几种方式： 0. 直接赋值，可以使用<<进行赋值。

 Eigen::Matrix2f m; //2x2的float矩阵 m << 1.9,2.884, //进行初始化，期望是4个值 4.33,5.898; std::cout << "m:" << std::endl << m << std::endl; ​ Eigen::Vector4i n; //长度为4的列向量 n << 3,4,2,6; std::cout << "n:" << std::endl << n << std::endl; ​ //运行结果： m: 1.9 2.884 4.33 5.898 n: 3 4 2 6 

这种方式只适合于矩阵的大小固定的情况，这种初始化方式很像使用列表初始化的数组，只有知道矩阵的大小，其构造函数才能从左向右、从上向下来进行初始化。比如可以定义动态大小的矩阵MatrixXd，这时就无法使用<<进行直接赋值，比如：

 Eigen::MatrixXi xi; //动态大小的int矩阵 xi << 1,2,3,4,5,6; std::cout << "xi:" << std::endl << xi << std::endl; 

因为这种定义的变量xi，并不知道其行列数目，可能是3x2、2x3等等，所以用6个int去赋值，构造函数无法进行构造。

对于向量，可以在构造的时候进行初始化。

 Eigen::RowVector3d k(1,2,3); //长度为3，类型为double的行向量 std::cout << "k:" << std::endl << k << std::endl; 

一些特殊函数，比如全部初始化为0，初始化为1，随机数等。

Eigen::MatrixXi zero = MatrixXi::Zero(3,4); //全部初始化为0的矩阵 std::cout << "------ zero ------" << std::endl << zero << std::endl; Eigen::MatrixXi one = MatrixXi::Ones(4,4); //全部初始化为1的矩阵 std::cout << "------ one ------" << std::endl << one << std::endl; Eigen::MatrixXi i = MatrixXi::Identity(3,3); //单位矩阵 std::cout << "------ i ------" << std::endl << i << std::endl; Eigen::Matrix4f random = Matrix4f::Random(); //随机矩阵 std::cout << "------ random ------" << std::endl << random << std::endl; 

运行结果：

------ zero ------
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
------ one ------
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
------ i ------
1 0 0
0 1 0
0 0 1
------ random ------
-0.   0.    0.64568   0.
0. -0.0    0.49321 0.0
-0. -0. -0.   -0.39201
0.   0.   0. -0.

使用Eigen::Map将已有的内存块数据映射到矩阵，必须要指定需要映射的矩阵类型，是MatrixXd、VectorXd等等，在模板参数中指明。

看一下Eigen::Map函数的定义：

template< e> class Map : public MapBase<Map<PlainObjectType, MapOptions, StrideType> > { ​ } 

• PlanObjectType：映射数据的等效矩阵类型。
• MapOptions：指定指针对齐方式，以字节为单位，默认为Unaligned，即未对齐。
• StrideType：可选择指定步幅。默认情况下，Map采用内存布局是一个普通的、连续的数组，可以通过指定步幅来定制化。

正常我们只需指明第一个参数即可，使用Map可以在无任何其他开销的情况下，让Eigen使用非Eigen数据结构来对其进行初始化，包括多种数据结构，比如原生数组，比如double[]、float[]等，以及STL容器，比如std::vector、std::array等。

 std::vector<double> vec = {1,2,3,4,5,6}; //std::vector数据类型 Eigen::Map<Eigen::VectorXd> vd(vec.data(),6); //构造成一个长度为6的列向量 std::cout << "------ vd ------" << std::endl << vd << std::endl; Eigen::Map<Eigen::MatrixXd> xd(vec.data(),3,2); //构造成一个3x2的矩阵 std::cout << "------ xd ------" << std::endl << xd << std::endl; //运行结果： ------ vd ------ 1 2 3 4 5 6 ------ xd ------ 1 4 2 5 3 6 

在上面代码中，我们使用vec.data()来获取数vector中的数组数据，同时必须确定矩阵或者向量的大小。

对于矩阵来说，还有一种非常常见的初始化方式，就是一行一行或者一列一列进行赋值。比如代码：

Eigen::MatrixXd mat(3,2); //创建一个3x2的double类型矩阵 mat.col(0) << 1,2,3; //对第一列进行初始化 mat.col(1) << 4,5,6; //对第二列进行初始化 

这种方式在构建特殊矩阵时经常用到。

矩阵索引

当前矩阵的行数、列数和大小可以分别通过rows()、cols()和size()方法来获取，在遍历Eigen矩阵时最好获取行数、列数来限制范围。

同时索引下标从0开始，矩阵元素的访问可以通过matrix(i,j)来访问第i行第j列的元素，对于向量还可以使用类似数组取值的vector[i]来访问第i个元素。比如代码：

 std::vector<double> vec = {1,2,3,4,5,6}; Eigen::Map<Eigen::VectorXd> vd(vec.data(),6); //创建一个长度为6的列向量 std::cout << "------ vd ------" << std::endl << vd << std::endl; Eigen::Map<Eigen::MatrixXd> xd(vec.data(),3,2); //创建一个3x2的矩阵 std::cout << "------ xd ------" << std::endl << xd << std::endl; ​ for (int i = 0; i < xd.rows(); ++i) { for (int j = 0; j < xd.cols(); ++j) { std::cout << "xd.(" << i << "," << j << ")= " << xd(i,j) << std::endl; } } ​ //运行结果： ------ xd ------ 1 4 2 5 3 6 xd.(0,0)= 1 xd.(0,1)= 4 xd.(1,0)= 2 xd.(1,1)= 5 xd.(2,0)= 3 xd.(2,1)= 6 

还可以利用block()函数来从Matrix中取出一个小矩阵来进行处理，语法是matrix:block<p,q>(i,j)，表示从原矩阵的(i,j)位置开始，截取出pxq大小的子矩阵，比如测试代码：

 Eigen::MatrixXi randomI = MatrixXi::Random(6,6); //随机值的6x6矩阵 std::cout << "------ randomI ------" << std::endl << randomI << std::endl; Eigen::MatrixXi smallI = randomI.block<3,3>(1,1); //从(1,1)处截取一个3x3的矩阵 std::cout << "------ smallI ------" << std::endl << smallI << std::endl; ​ //运行结果： ------ randomI ------ -13389 -12482 3334 -14515 12319 -1243 -4442 -16231 3511 3528 7427 -8673 -11557 -16092 -10937 9283 14938 11869 -10948 -4002 5342 9915 13949 -9516 16007 1037 -1613 651 1289 9163 -1780 2332 -4846 -6490 -11720 11260 ------ smallI ------ -16231 3511 3528 -16092 -10937 9283 -4002 5342 9915 

数学运算

Eigen库重载了常用加减乘运算符，而对于矩阵的除法，我们一般是求逆然后再转换为乘法，使用起来比较简单，就不过多介绍了。

还有几个常用的方法，必须要介绍一下，因为在项目中非常常见。

• 矩阵转置。调用transpose()方法即可求出一个矩阵的转置矩阵。
• 矩阵求逆。调用inverse()方法即可求出一个矩阵的逆矩阵。
• 共轭矩阵。调用conjugate()方法可以求出共轭矩阵。

求解线性最小二乘方程组

此外，Eigen库的最主要一个作用可以直接求解最小二乘方程组，对于方程组Ax=b，如果没有确定解，可以找到一个向量x，使得其误差平方值最小。

我们可以回顾一下在线性回归中，如何解出最佳拟合系数\theta，一般都是先构建范德蒙矩阵，然后根据公式进行计算。但是在Eigen中，可以直接使用bdcSvd类的solve()方法直接求解出最小二乘方程组的系数。

比如下面代码中使用2种方法解最小二乘方程组：

 Eigen::MatrixXf X(4, 3); //创建4x3的矩阵，表示有3个系数待求解，一共4个方程 Eigen::Vector4f Y; //表示结果的长度为4的列向量 X << 0, 0, 1, 1, 1, 1, 4, 2, 1, 9, 3, 1; Y << 2, 0, 3, 7; ​ std::cout << "------ X ------" << std::endl << X << std::endl; std::cout << "------ Y ------" << std::endl << Y << std::endl; //使用bdcSvd方法 Eigen::MatrixXf abc = X.bdcSvd(Eigen::ComputeThinU | Eigen::ComputeThinV).solve(Y); std::cout << "------ abc ------" << std::endl << abc << std::endl; //使用公式法 Eigen::MatrixXf abc1 = (X.transpose() * X).inverse() * (X.transpose()) * Y; std::cout << "------ abc1 ------" << std::endl << abc1 << std::endl; ​ //运行结果： ------ X ------ 0 0 1 1 1 1 4 2 1 9 3 1 ------ Y ------ 2 0 3 7 ------ abc ------ 1.5 -2.7 1.8 ------ abc1 ------ 1.5 -2.70001 1.8 

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